私は今短期で半年雇用のアルバイトで今働いています。

私は今短期で半年雇用のアルバイトで今働いています。日給制なのですが週5日勤務で仕事が忙しくお昼を食べるのがやっとで拘束時間は10～15時間はあります。
初めて四ヶ月ですが体の具合いが良くなく病院の方で診察書をもらった場合、傷病手当て、又はそれによって解雇された場合、雇用手当ては受給できるのでしょうか？無知な私に教えてください。お願いします。

そのバイト先で健康保険には加入していますか。
親の健康保険の扶養や国民健康保険ではなく。
バイト先の健康保険に加入している場合は傷病手当金が出ます。

加入していなかった場合でも、過労などで病院で証明を貰えば労災保険がおりるかもしれません。
ただし、仕事と病気の因果関係が証明されないとダメなので、
今までのタイムカードのコピーなどを手に入れておきましょう。
毎日日記をつけている場合などはそれも証拠になるようです。

そして、雇用手当てというのは雇用保険のことでしょうか。
こちらも会社で雇用保険をかけていなければなりません。
そして、かけていた場合でも４ヶ月では失業保険は出ません。
今のバイトの前に他の職場で雇用保険をかけていた場合は出る可能性があります。
今かけていなくても前の職場で１年以上かけていたことがある場合も出る可能性があります。
詳しくはハローワークへ電話をするか、「失業保険」「雇用保険」などで検索してみてください。

失業保険を申請するまでの間は、登録制の日払い派遣で働いても大丈夫でしょうか？又、待機期間の7日を過ぎたら、また日払い派遣で働いても大丈夫なのでしょうか？

ハローワークに手続きする前は問題ないと思います。
待機期間の7日間は、『失業の状態にある』ことが必要です。
給付制限中の3ヶ月間はバイト可能ですが、ハローワークによって
解釈が違う場合が有りますので、週何日くらいまでなら良いとか、
何時間以内なら良いとか、管轄のハローワークに確認して下さい。
給付制限期間中だけなら大丈夫と言われれば、
堂々とバイトできます。
あと、手続きが必要かどうかも確認して下さい。
次回の認定日に申告すればよいのか、特別な手続きが必要など。
但し、就職活動をしないと、『就職した』とみなされて、
一切受給できなくなってしまいます。

失業保険について教えて下さい。

現在３年間正社員で勤務している会社を手荒れが原因で退社する事になりました。退社後は失業保険を貰い暮らそうと思ってましたが会社から週2、3日で4時間ぐ
らいでパートで働かないかと打診がありました。
この場合、失業保険は貰えるのでしょうか？

週２０時間未満勤務になることで雇用保険の被保険者資格を喪失するので、失業給付を受けることは可能です。

ただし、アルバイト収入の金額やアルバイトで働いた日数次第では失業給付の一部または全額について支給を受けられません。また、一部受けられるとしても、そのためにはハローワークにアルバイト収入及びアルバイトをした日を報告しなければなりません。